四阶矩强大数定律虽然对“有限$4$阶矩”的条件作了限制,但并没有假设$\left(X_n\right)$序列的同分布, 而且这个很好的结论并不需要复杂的证明.

Theorem
假设$X_1, X_2, \ldots$是独立的随机变量,并且存在$[0,\infty)$中的一个常数$K$,使得:

\[\mathrm{E}\left(X_k\right)=0, \quad \mathrm{E}\left(X_k^4\right) \leq K, \quad \forall k .\]

令 $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$. 则

\[\mathbf{P}\left(n^{-1} S_n \rightarrow 0\right)=1,\]

\[S_n / n \rightarrow 0, a.s.\]

证明: 我们有

\[\begin{aligned} \mathrm{E}\left(S_n^4\right) & =\mathrm{E}\left[\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right)^4\right] \\ & =\mathrm{E}\left(\sum_k X_k^4+6 \sum \sum_{i<j} X_i^2 X_j^2\right), \end{aligned}\]

因为,对于不同的$i, j, k$和$l$,

\[\mathrm{E}\left(X_i X_j^3\right)=\mathrm{E}\left(X_i X_j^2 X_k\right)=\mathrm{E}\left(X_i X_j X_k X_l\right)=0,\]

利用独立性和$\mathrm{E}\left(X_i\right)=0$。

注意$\mathrm{E}\left(X_j^4\right)<\infty$意味着$\mathrm{E}\left(X_j^3\right)<\infty$,(因为“$\mathcal{L}^p$范数的单调性”)。因此,$X_i$和$X_j^3$都在$\mathcal{L}^{\mathbf{1}}$中。

我们知道

\[\left[\mathrm{E}\left(X_i^2\right)\right]^2 \leq \mathrm{E}\left(X_i^4\right) \leq K, \quad \forall i .\]

因此,再次利用独立性,对于$i \neq j$,

\[\mathrm{E}\left(X_i^2 X_j^2\right)=\mathrm{E}\left(X_i^2\right) \mathrm{E}\left(X_j^2\right) \leq K\]

因此,

\[\mathrm{E}\left(S_n^4\right) \leq n K+3 n(n-1) K \leq 3 K n^2,\]

\[\mathrm{E} \sum\left(S_n / n\right)^4 \leq 3 K \sum n^{-2}<\infty\]

因此$\sum\left(S_n / n\right)^4<\infty, a.s.$,,且

\[S_n / n \rightarrow 0, \quad a.s.\]

Corollary
如果定理中的条件$\mathrm{E}\left(X_k\right)=0$被替换为$\mathrm{E}\left(X_k\right)=\mu$,其中$\mu$是常数,则定理的结论为$n^{-1}S_n\rightarrow\mu , a.s.$ .

证明: 显然,令$Y_k:=X_k-\mu$,就可以将将定理应用于序列$\left(Y_k\right)$,但我们需要

\[\sup _k \mathrm{E}\left(Y_k^4\right)<\infty\]

这可以通过Minkowski不等式 \(\left\|X_k-\mu\right\|_4 \leq\left\|X_k\right\|_4+\|\mu\|\) 得到.

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