高等代数-二次型理论
二次型Permalink
数域P上的一个n元二次型
数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式
并称该平方和形式为该二次型的标准型
证明
设n为变量数
使用数学归纳法
假设对n - 1 个变量的情形成立
n个变量时
分三种情形来讨论
Case 1
其中
是
令
即
这是一个非退化线性替换
根据MI假设,对
Case 2
不失一般性,设
令
他是非退化线性替换,且使
且
Case 3
由对称性,
为
由归纳假设,可表示为平方和的形式.
至此原命题证毕 #
二次型的矩阵Permalink
定理2
在数域P上,任何一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,并称
证明:
将上述证明以矩阵形式写出即可.
使用同前面证明类似的数学归纳法
不失一般性,设
应用变换
合同变换为
令
于是C,A,C’都可以写成分块形式:
则
由归纳假设,可由可逆矩阵G使
为对角矩阵
令
2.
应用变换
则
转化为第一种情况.
3.
矩阵写为
其中
至此原命题证毕.#
唯一性Permalink
在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关.
复数域情形Permalink
不妨假设为
r就是二次型的秩
再通过可逆线性替换(注意复数总可以开平方)
即得
称为复二次型
定理3
任意一个复二次型可经非退化线性变换化为唯一确定的规范形.
或者说,任意复数域内的对称矩阵合同于一形如
的对角矩阵.
推论
两个复数矩阵合同的充要条件是他们的秩相等
####实数域情形
其中
就得到
称为实二次型
定理4
任意一个实二次型可经过适当的非退化线性替换可化为唯一确定的规范形
前半部分(可化为规范型)已经证明,下证唯一性
设实二次型
化为规范型
经非退化线性替换
化为规范型
用反证法.设p>q.
由以上假设,我们有
其中
令
所以(1)可以写成
考虑齐次线性方程组
这里的思路来自北大《高等代数》(第四版 北京大学前代数小组 高等教育出版社)个人认为一定程度上缺少直觉性.
方程组(3)含有n个未知量,
是(3)的一个非零解.显然
因此,把它带入(*)的左端,得到的值为
再通过(2)把它带入(*)的右端,因为它是(3)的解,故有
所以
矛盾.
于是唯一性得证.
这个定理通常称为 惯性定理.