线性空间
基本定义
若对应法则$f: A\rightarrow B$满足每个$a\in A$对应唯一的$b\in B$, 则称 $\mathrm{f}$ 是 $\mathrm{A}$ 到 $\mathrm{B}$ 的一个映射, $\mathrm{b}$ 是 $\mathrm{a}$ 在 $\mathrm{f}$ 下的像, 记作 $\mathrm{f}(\mathrm{a})$. 称 $\mathrm{a}$ 是 $\mathrm{b}$ 在 $\mathrm{f}$ 下的一个原像.
A称为定义域(Domain),B称为陪域(Codomain).$f(A):= {f(a)\vert a\in A}$称为值域.
若$f(A) = B$,则f称为一个满射.
如果$A$中不同元素在$f$下的像不同,称$f$为单射.
如果$f$既是单射又是满射,则f称为一个双射(一一对应).
定义 笛卡尔积
$S \times M :={(a,b)|a \in S,b \in M} $ 称为$S$与$M$的笛卡尔积.
定义
非空集合$S$上的一个代数运算是指$S\times S$到$S$的一个映射.
注意极限不是代数运算
定义
设$V$是一个非空集合,$K$是一个数域.
\[(\alpha ,\beta ) \rightarrowtail \alpha+\beta\]
如果$V$上有一个运算,称为加法,即$K$和$V$之间有一个运算,称为数量乘法.即
\[K \times V \rightarrow V:(k,\alpha) \rightarrowtail k\alpha\]且满足8条运算性质
V就称为数域K上的一个线性空间.
线性空间的例子:n维向量空间
令
\(K ^{n} = \{(a_1,a_2,...a_n)|a_i \in K,i = 1,2,...,n \}\)
规定
\((a_1,a_2,...a_n)=(b _1,b _2,...,b _n)\\
\stackrel{\triangle}{\iff} \\
a_i = b_i,i=1,2,...,n.\)
规定
\[\begin{aligned} 数量乘法\ &k(a_1,a_2,,...,a_n)=(k a_1,k a_2 ,...,k a_n)\\ 加法\ &(a_1,a_2,...a_n)+(b _1,b _2,...,b _n)=(a_1+b _1,a_2+b _2,...,a_n+b _n) \end{aligned}\]并满足8条运算性质
| 加法 | 数乘 |
|---|---|
| 交换律 | 单位元素 |
| 结合律 | 交换律 |
| 零元素 | 左分配律 |
| 负元素 | 右分配率 |
则 $K^n是一个$K$上的$n$维向量空间.它是数域$K$上的一个线性空间.
其他性质
设$V$$是数域$K$上的一个线性空间
V的零元唯一
证明:
设 $O_1,O_2$都是V的零元,则
\(O_1 = O_1+\stackrel{零元}{O_2} =O_2+\stackrel{零元}{O_1}= O_2\)
每个$\alpha \in V$的负元唯一
证明:
设$\beta_1,\beta_2$都是 $\alpha$的负元,则
$0\alpha = \stackrel{零元}{ \vec{0}}$
证明:
\(0\alpha = (0+0)\alpha=0 \alpha + 0\alpha\)
两边加$0\alpha$的负元,得
\(0 = 0 \alpha\)
$k\vec{0}= \vec{0}$
证明思路:
零元是加法的性质,$k0$是数量乘法,要利用他们的”桥梁”性质$8$
\(k0=k(0+0)=k0+k0\)
两边加$k0$的负元
\[0 = k\vec{0}\]$k\alpha = 0$则k = 0或者$\alpha = 0$
证明:
假设k = 0,则
$(-1)\alpha = -\alpha$
证明:
\((-1)\alpha + \alpha =(-1)\alpha + 1 \alpha =(-1+1)\alpha = 0 \alpha \xlongequal{由(3)}\mathbf0\)
线性子空间
定义 设V是数域K上的一个线性空间,U是V的一个非空子集,如果U对于V的加法和数量乘法也成为数域K上的一个线性空间,那么称U是V的一个线性子空间.